Saluti finali

Dopo quanto affrontato nei post precedenti e soprattutto nell'ultimo credo sarà chiaro a tutti che quanto segue non è una barzelletta ma un fatto realmente accaduto:
Un ingegnere, un biologo e un matematico osservano una casa che sanno per certo essere vuota. Ad un certo punto vedono entrare due persone. Successivamente ne vedono uscire tre.
L'ingegnere: "Sicuramente c'è stato un errore di misura!".
Il biologo: "Si sono riprodotti".
Il matematico: "Se adesso entra una persona, la casa sarà vuota!"

Un saluto a tutti quanti hanno visitato questo blog sperando di avervi incuriosito e perchè no divertito.

Soluzione fantasiosa di un semplice problema aritmetico

Un ragazzo vede conigli e polli in un cortile. Conta 18 teste e 56 zampe. Quanti polli e conigli ci sono nel cortile?

Immaginiamo l’esistenza di un conigliopollo (animale con due teste e sei zampe). Diciotto teste sono quelle di 9 coniglipolli, che hanno in tutto 54 zampe: quindi ce ne avanzano due. Immaginiamo ora il coniglio spollato, animale ottenuto togliendo un pollo da un coniglio e quindi con 1-1 = zero teste e 4-2 = due zampe. In tutto quindi abbiamo 9 coniglipolli e un coniglio spollato; vale a dire 9+1=10 conigli e 9-1=8 polli.
Analiticamente il tutto si risolveva con pochi passaggi matematici, a voi dilettarvi in ciò.

Il paradosso di Achille e la Tartaruga

Enunciamo il famoso paradosso di Zenone:
Achille piè veloce sfida alla corsa una lenta tartaruga, dicendole:
- Scommettiamo che riesco a batterti nella corsa anche se ti do dieci metri di vantaggio?
la tartaruga risponde:
- Sai, io sono molto lenta, è il mio stile di vita, ma se mi dai dieci metri di vantaggio, non puoi battermi!
- Sì che posso, io sono il doppio più veloce di te.
- Anche se sei il doppio più veloce non potrai mai raggiungermi. Vedi, mentre tu percorri i dieci metri che io ho di vantaggio io mi sposto in avanti di cinque. Tu dovrai poi percorrere questi cinque metri, ma io mi sarò spostata in avanti di altri due metri e mezzo che tu dovrai recuperare. Ma mentre tu cercherai di raggiungermi facendo questi due metri e mezzo io mi sarò spostata di un altro metro e venticinque e così via fino all'infinito, così tu non potrai mai raggiungermi.
A voi dilettarvi nel spiegare la soluzione a tale paradosso.

Questi numeri... tutti uguali

Oltre al luogo comune "gli uomini sono tutti uguali" la stessa cosa si può dire per i numeri.
Siano x e y due numeri differenti e sia z la loro media aritmetica, si avrà:
x + y = 2z e, moltiplicando ambo i membri per (x – y) si ottiene:

(x + y)(x – y) = 2z(x – y)
ossia (effettuando i prodotti):
x^2 - y^2 = 2xz – 2yz
cioè:
x^2 - 2xz = y^2 - 2yz
e, sommando ad ambo i membri z^2 si ottiene:
x^2 - 2xz + z^2 = y^2 - 2yz + z^2
ossia:
(x - z)^2 = (y - z)^2
da cui:
x = y
Ossia abbiamo dimostrato che tutti i numeri sono uguali.

Dimostriamo anche che 1 = 0

Sia x = -1/2 avremo che 2x=-1 ossia 2x+1 = 0
Aggiungiamo ad ambo i membri x^2 si ha:
2x+1+x^2 = x^2
Ricordando che (x+1)^2 = 2x+1+x^2 si ha:
(x+1)^2 = x^2
Ossia:
x+1 = x
Da cui, semplificando la x in ambo i membri ecco dimostrato che 1 = 0

Uso improprio della matematica: 1 = 2

Supponiamo di avere due numeri uguali x ed y risulterà che xy = x^2 (con la notazione x^2 si intende il quadrato di x).
Se aggiungiamo y^2 in ambo i membri avremo:
xy - y^2 = X^2 + y^2
ossia:
y(x-y) = (x+y)(x-y)
Dividendo ambo i membri per (x-y) resta:
y=x+y
ed avendo detto che x=y si avrà:
y=2y
da cui (dividendo per y ambo i membri) si dimostra che 1=2.
Chi non è d'accordo?

E che 142 857 fosse anche un numero ciclico?

Per definizione un numero ciclico è un numero di n cifre, che moltiplicato per un numero da 1 a n, dà come risultato un numero contenuto in forma ciclica nel numero di partenza.
Verifica:
142857 x 1 = 142857.
142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
142857 x 5 = 714285
142857 x 6 = 857142

P.S.: le proprietà di tale numero non finiscono qui, per chi è interessato esiste il sito: http://www.eyegate.com/showgal.php?id=297

Sapevate che 142 857 143 è un numero “magico”

Moltiplicato per qualsiasi altro numero (sempre di nove cifre) il risultato si ottiene scrivendo due volte di seguito il secondo numero e dividendolo per 7
Esempio:
142 857 143 x 546 321 188 = 546 321 188 546 321 188 / 7 = 780 458 840 780 458 84.

Qual è il numero perfetto?

Per chi pensa che il numero perfetto sia il 3, con la matematica si ha una clamorosa smentita.
Per definizione, un numero perfetto è un intero positivo che goda della proprietà di essere il risultato della somma di tutti i suoi divisori propri interi e positivi.
Il primo numero intero positivo che risulti essere perfetto è il 6, che è dato dalla somma 1 + 2 + 3, i tre numeri che risultano essere anche suoi divisori interi e positivi.

Giochetto di prestigio, scegli un numero...

Pensa ad un numero qualsiasi. Aggiungi ad esso il voto che hai in matematica. Ora scrivi il numero, ed anche il suo contrario aumentato di 9 (ad esempio, se fosse 187, scrivi anche 781 + 9 = 790). Sottrai il minore dal maggiore. Ora somma le cifre del risultato, anche più volte, finché non ne ottieni solo una. Questo è il tuo nuovo voto di matematica se sai spiegare perché poteva venire solo quel numero!

Famosissimo aneddoto su Gauss

Quando Gauss era fanciullo, l' allora insegnate per tenere occupati gli allievi assegnò loro l'esercizio di sommare tutti i numeri da 1 a 100. Quasi immediatamente Gauss depose la lavagnetta dicendo: "Ecco fatto". L'insegnante gli diede un'occhiata sprezzante, però quando corresse i compiti trovò che la lavagnetta di Gauss era l'unica con il risultato esatto: 5050, senza alcun calcolo. Il fanciullo aveva usato la formula delle progressioni aritmetiche: N(N+1)/2

Trucchetto per il calcolo della radice quadrata

Oltre al metodo tradizionale di calcolo della radice quadrata che tutti conoscono, ne esiste uno più “simpatico” per tentativi successivi, tramite la formula, ideata da Isaac Newton, scondo cui la radice di un numero N è dato da [(N/A) + A]/2, dove N è il numero del quale si vuole calcolare la radice quadrata, mentre A è un numero che assume valori diversi: alla prima esecuzione si può far assumere ad a un qualsiasi valore, mentre nelle esecuzioni successive A dovrà assumere il valore del risultato ottenuto dall'esecuzione precedente; il calcolo termina quando, dopo un certo numero di ripetizioni del calcolo, il risultato delle esecuzioni sarà sempre lo stesso.
Ad esempio per trovare la radice di 3136:
Scegliamo a caso A = 31, otteniamo: [(3136 / 31) + 31] / 2 = 66,080645
Nella seconda esecuzione avremo: [(3136 / 66,080645) + 66,080645] / 2 = 56,768904
Per la terza: [(3136 / 56,768904) + 56,768904] / 2 = 56,005207
La quarta: [(3136 / 56,005207) + 56,005207] / 2 = 56,000000 Ed infine dalla quinta in poi: [(3136 / 56,000000) + 56,000000] / 2 = 56,000000

Diventare un calcolatore mentale con lo “schema a crocetta”

Si moltiplicano prima le unità tra loro e si ottiene il valore delle unità del risultato ed eventuale resto; poi tutti i numeri che hanno per risultato le decine (unità per decine) e si sommano i risultati e l’eventuale resto precedente ottenendo il valore delle decine ed eventuale resto; si va avanti con le centinaia ecc, facendo attenzione ai riporti.
Esempio: 153 x 42= (100+50+3) x (40+2)
Unità
2 x 3= 6 è unità = 6
Decine (3 x 40) ed (50 x 2)
3 x 4 + 4 x 2 = 12 + 10 = 22 è decine = 2, resto = 2
Centinaia (100 x 2) (50 x 40) resto 2
1 x 2 + 5 x 4 + 2 = 2 + 20 +2 = 24 è centinaia = 4, resto = 2
Migliaia (100 x 40) resto 2
1 x 4 + 2 = 6 è migliaia = 6
Unendo si ha il risultato 6.426

P.S.: Questo è un metodo molto semplice usato anche dai “calcolatori mentali”, tra cui quello che detiene l’attuale Guiness dei primati è Alexis Lemaire che è riuscito a calcolare la radice tredicesima di un numero a 200 cifre in 70,2 secondi.

Quadrato di un numero intero

Lo sapevate che il quadrato di qualsiasi numero intero è uguale al prodotto del numero che lo precede per il numero che lo segue, ossia NxN = (N+1)N-1)+1? La dimostrazione è veramente semplice bastano pochi passaggi...

Quadrato di numeri con "tutti uno"

Altra caso particolare dell'elevamento a potenza riguarda i numeri che hanno "tutti uno", come ad esempio 11, 111, 1.111 ecc.
Per questi è immediato calcolarne il quadrato, semplicemente contando quanti "uno" ha il numero (supponiamo N) e scrivendo la sequenza 12345...N...54321
Esempi:

1 X 1= 1
11 x 11= 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321

Al solito l'invito è quello di enunciare il teorema in maniera corretta con relativa dimostrazione.

Potenze di numeri che terminano con 5.

Trucchetto per il calcolo veloce della potenza di numeri che terminano con 5: si moltiplica il valore numerico che precede il 5 finale (supponiamo n) per lo stesso valore incrementato di uno (n+1) e si aggiunge la cifra 25 finale: n5 x n5 = (n x (n+1))25

esempi:
25 x 25 ==> 2 x 3 = 6 ==> 625
35 x 35 ==> 3 x 4 = 12 ==> 1225
45 x 45 ==> 4 x 5 = 20 ==> 2025
e così via...

Il tutto ovviamente è poco "matematico" ma funziona... Qualcuno di voi vuole dilettarsi a scrivere meglio un teorema a riguardo, con relativa dimostrazione?

Benvenuti

Un ben venuto a tutti i visitatori del blog.
A dispetto del titolo "Giocando con la matematica" non troverete dei giochi matematici (tipo la settimana enigmistica), ma una raccolta di curiosità, trucchetti e aneddoti sulla matematica e i numeri.
Un piccolo assaggio: in molti conosceranno il famoso "ultimo teorema di Fermat" che per 350 anni ha fatto scervellare i matematici di tutto il mondo incapaci di trovare una soluzione, fino al 1994 ad opera di Andrew Wiles che ci ha lavorato per 7 anni producendo una dimostrazione di 200 pagine.
La maggior parte però non sa che esiste un'altro problema ad oggi irrisolto, la "Congettura di Goldbach" (Christian Goldbach 1742) il cui enunciato stupisce per la sua semplicità:
"Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi".