Quadrato di numeri con "tutti uno"

Altra caso particolare dell'elevamento a potenza riguarda i numeri che hanno "tutti uno", come ad esempio 11, 111, 1.111 ecc.
Per questi è immediato calcolarne il quadrato, semplicemente contando quanti "uno" ha il numero (supponiamo N) e scrivendo la sequenza 12345...N...54321
Esempi:

1 X 1= 1
11 x 11= 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321

Al solito l'invito è quello di enunciare il teorema in maniera corretta con relativa dimostrazione.